KLARER KAMERAET V?RT ? TA BILDE AV ARMANDO????

I forrige post fant vi likningen : \(l= | \mathbf{r}| \sqrt{\frac{M_p}{kM_s}}\) (1). Denne beskriver avstanden \({l}\) mellom TORTA og Armando n?r gravitasjonskraften fra Armando er \({k}\) ganger st?rre enn gravitasjonskraften fra sola. Denne avstanden er avhengig av: \(|\mathbf{r}|\)-avstanden mellom TORTA og sola, \(M_p\) - massen til Armando og \(M_s\)- massen til sola. Men det holder dessverre ikke bare med denne likningen. Vi vil jo vite hvor n?rme vi m? komme planeten for ? ta et godt bilde av Amando. Og hvis vi ser litt n?rmere p? likning (1) ser vi at den egentlig ikke sier noe om selve kameraet. Ting som synsfelt og pixel har ikke blitt tatt i bruk. Da har vi en siste jobb foran oss f?r vi virkelig skal ta et vakkert bilde av Armando, og denne jobben er ? finne ut hvor n?rme vi m? komme planeten med kameraet v?rt. 

S? la oss se litt n?rmere p? kameraet v?rt. David G har tatt med seg sitt hjemmelagde kamera, og f?tt montert det som en g?rning p? TORTA. Det sies at bilde er gucci n?r Armando vises i minst en pixel. Okei dette er jo et godt utgangspunkt. Men hva er pixel. Noen vet hva dette er fra f?r, noen har kanskje h?rt om det f?r og for noen kan dette v?re helt nytt. Pixel er rett og slett byggeklossene til et bilde. Et bilde er bygd opp av mange sm? pixler. Hver pixel er en firkant. Og desto flere piksler et bilde har desto bedre blir bildekvaliteten. For ? vite hvor mange pixler det er i et bilde bruker vi pixel dimensjoner. 

- Kameraet har en pixel dimensjon p? : \(P \times P\), her er \(P\) gitt som pixel

Men det er ikke bare pixel vi m? tenke p?. Synsfeltet er ogs? viktig. Synsfelt er hvor mye vi kan se med det syke kameraet som David G har mekka. N?r du tar opp telefonen og zoomer inn og ut s? endrer du p? synsfeltet til bilde ditt. Synsfeltet til kameraet er gitt som : \( F \times F\), hvor \(F\) er gitt i radianer. 

Sidekantene til figur 1 har en st?rrelse \(P\). Men hvis dere ser litt n?ye p? figur 1. Klarer dere og se at desto mindre vinkel \(F\) blir desto mer blir planeten zoomet inn. OG om vi gj?r det motsatte og ?ker vinkelen \(F\), s? zoomer vi utover. Det ser litt ut som at \(F\) pr?ver ? v?re \(k\) fra likning (1). Men om vi tar forholde mellom \(F\) og \(P\) : \(\frac{F}{P}\) f?r vi synsvinkelen per piksel. Dette forteller oss hva synsvinkel er for hvert eneste pixsel p? et bilde. Og dere husker at Aramando m?tte dekke minst en pixel for at bilde skulle bli gucci. Det betyr med andre ord at vinkeldiametetren m? v?re st?rre enn vinkelen per piksel. Matematisk: \(\theta \geq \frac{F}{P}\). N? har vi et godt utgangspunkt, men vi m? stramme opp \(\theta \). Er det en annen m?te vi kan utrykket \(\theta\) p?, som kan hjelpe oss med ? finne et utrykk for \(L\)(distansen fra aramando)??? Hint bruk figurene under¡­

N? tror vi vi dere skj?nner hva vi m? gj?re. Det er p? tide med trigonometri!!! Dere husker kanskje fra trigonometrien at tangens av \(x\) er det samme som motst?ende delt p? hosliggende katet : \(\tan{x}=\frac{motst?ende}{hosliggende}\). I dette tilfelle er \(motst?ende = R\) og \(hosliggende = L\) .Fra figur 3 ser vi at vi kan skrive vinkelen \(\frac{\theta}{2}\) som : 

\(\tan{\frac{\theta}{2}}=\frac{R}{L}\)

\(\frac{\theta}{2} = \tan^{-1}({\frac{R}{L}})\)

\(\theta = 2\tan^{-1}({\frac{R}{L}})\)

DEILIGGGGGGG, n? har vi f?tt et utrykk for \(\theta\) , og vi kan sette dette inn i det opprinnelige utrykket. 

         \(2\tan^{-1}({\frac{R}{L}})\geq \frac{F}{P}\) 

         \(\frac{R}{L} \geq \tan({\frac{F}{2P}})\)

N? trenger vi bare ? f? \(L\) alene:

        \(L \leq \frac{R}{\tan({\frac{F}{2P}})}\)  (2)

Yes sirrr, skulle trodd vi var Pytagoras m?ten vi tolker trekanter p?!!! MEN, vi er enn? ikke helt ferdig. Hva er det vi fysikere liker ? gj?re igjen¡­ Helt riktig vi liker ? gj?re forenklinger n?r det er rom for det. Fordi vi kan ta i bruk sm? vinkel approksimasjonen. Sm? vinkel approksimasjonen sier at n?r vinkelen \(x\) er liten s? er tangens av \(x\) omtrentlig lik verdien \(x\). S? ved sm? vinkler kan vi si at : \(\tan{x}\approx x\) . Grunnen til at vi kan bruke denne approksimasjonen er siden kamera v?rt ligger langt vekke fra planeten. Dette f?rer til at vinkelen fra kameraet til planeten blir veldig liten. Med det kan vi ta i bruk sm? vinkel approksimasjonen.

La oss bruke denne approksimasjonen p? likning (2) som vi fant over:

                     \(L \lesssim \frac{R}{\frac{F}{2P}}\) , her har vi brukt at \(tan({\frac{F}{2P}})\approx \frac{F}{2P}\)

                     \(L \lesssim \frac{2PR}{F}\)  (3)

Hva er det p? tide ? gj?re n???? Det er jo p? tide ? tolke likningen v?r. Vi kan f?rst se p? \(R\) v?r i utrykket. Hvis \(R\) er et stort tall, s? betyr det at planeten vi ser p? er veldig stor. Da hadde de gitt mening at vi m? v?re lenger unna for ? ta et godt bilde av planeten. OG hvis vi ser p? likningen v?r ser vi at dette er akkurat det som skjer. N?r \(R\) ?ker s? ?ker ogs? avstanden \(L\) seg, siden \(R\) ligger i telleren. Hva med \(P\) og \(F\) da? Vi ser at synsfeltet \(F\) ligger i nevneren. Dette betyr at desto st?rre synsfeltet blir desto mindre m? avstanden \(L\) v?re, og det motsatte n?r synsfeltet minker. Dere husker kanskje tidligere i teksten hvor vi sammenlignet synsfeltet \(F\) som ? zoome inn og ut med kameraet. Hvis dere skal ta bilde av et eplet ogs? merker dere at dere har klart ? zoome for mye inn. Hva kan dere gj?re n? f?r ? f? med hele eplet p? bildet? Enten s? kan dere bare zoome ut, eller s? kan dere bevege dere lenger unna eplet. Oiiii ser der hva som skjedde n?. N?r synsfeltet minket, alts? ? zoome inn p? eplet, s? m?tte avstanden v?r ?ke for at vi skulle f? plass til hele eplet p? bildet.  Okei letsgo, n? mangler vi bare ? se p? \(P\) som var antall piksler. Vi ser p? likningen at  \(P\) ligger i telleren akkurat som radiusen \(R\). Det betyr at n?r antall piksler \(P\) ?ker s? ?ker ogs? avstanden v?r \(L\). Flere piksler f?rte til bedre oppl?sning av bilde. S? n?r \(P\) blir st?rre s? f?r vi bedre oppl?sning av planeten som betyr at vi kan v?re lenger unna planeten for ? f? oppl?st bilde.

TELEFONEN: ?BRINGGGGG¡­ BRINGGGG¡­ BRING¡­?

Prof.Elmi: ?Denne telefonen har v?rt aktiv i det siste, hvem er det jeg snakker med?

Frody: ?Likningen jeg fikk var  \(L \lesssim \frac{PR}{F}\), hva har dere gjort annerledes????

Prof.Elmi: ?Det er et godt sp?rsm?l Frody, gi meg to sek?

Prof.Elmi ?David G!!!!! Jeg trenger hjelp Frody ringte du har 1.5 sek p? deg ? forklare hvorfor vi fikk :  \(L \lesssim \frac{2PR}{F}\) Istedenfor \(L \lesssim \frac{PR}{F}\)?

David G, 0.9 sek igjen:  ?La meg se p? figur 2 igjen. Mhmmmm¡­ mhmmm¡­?

David G, 0.3 sek igjen:   ?aaahaaaa jeg skj?nner hvorfor vi har f?tt ulikt svar kast meg telefonen?

Hendelse: 0.15 sek igjen.. Prof.Elmi kaster telefonen lynraskt mot David G

David G, 0.000001 sek igjen:  Tar i mot telefonen p? en nonchalant m?te ?Frody du snakker med David G?

David G: ?Grunnen til at v?re svar er ulike er at vi har brukt vinkeldiameter istedenfor vinkelradius. Vi har alts? utrykket vinkelen v?r \(\theta\) som vinkelen utspent over diameteren istedenfor radiusen. Hvis vi hadde lagt vinkelen \(\theta\) som vinkelen mellom lengden \(L\) og radiusen \(R\) hadde vi f?tt bare \(\theta\) i figur 3 istedenfor \(\frac{\theta}{2}\). Dette hadde f?rt til at vi ikke hadde hatt 2 tallet i likning (3)

Frody: ?Den er grei gutter?

TELEFON: ?BIPPPPPPPPPPPPPPPPP?

David G: ?Men vent n? litt Prof.Elmi, det er en annen m?te vi kan l?se problemet!!! La meg vise dere..

Vi kan se p? vinkel arealene og sammenligne de to opp mot hverandre. Fordi vi vet jo at vi trenger at planeten v?r Armando dekker minst en pixel. Da m? arealet p? himmelen som planten dekker v?re st?rre enn arealet som en piksel dekker. Matematisk: \(A_{Armando}>A_{pixel}\) (4). Arealet som en pixel dekker er : \(A_{pixel} = (\frac{F}{P})^2\). For \(A_{Armando}\) bruker vi formelen for arealet av en sirkel : \(A = \pi r^2\). Bare at vi n? m? holde tunga i munn siden vi ser p? hvor stor planten er i kamera sitt synsvinkel. S? vi bytter ut \(r^2\) med \(\phi^2\). Da f?r vi:

\(A_{Armando} = \pi \phi^2\) (5)

Dere husker tidligere utregning at vi fant ut hva \(\theta\) ble ved ? l?se likningen: \(\tan{\frac{\theta}{2}}=\frac{R}{L}\). Denne gangen gj?r vi det litt annerledes ved ? si at \(\frac{\theta}{2} = \phi \). Da f?r vi f?lgende :

\(\tan{\phi}=\frac{R}{L}\), hva kan vi gj?re n????

Vi kan kj?re p? med sm? vinkel approksimasjonen. Fins ikke noe diggere enn ? bruke den, livet blir s? mye lettere!!!

\(\tan{\phi}=\frac{R}{L}\Rightarrow \phi \approx \frac{R}{L}\) 

N? setter vi inn utrykket (5):

\(A_{Armando} = \pi \phi^2 \approx \pi (\frac{R}{L})^2 \)

Og n? kan vi sette dette in i det f?rste utrykket v?rt (4):

\(A_{Armando}>A_{pixel} \Rightarrow \pi (\frac{R}{L})^2 \gtrsim \frac{F}{P})^2\)

Da er vi p? last step og det er ? finne utrykket til \(L\). Vi kan starte med ? ta roten av hele utrykket f?r ? fjerne \(^2\) leddet.

\(\sqrt{\pi(\frac{R}{L})^2} \gtrsim \sqrt{(\frac{F}{P})^2}\)

\(\sqrt{\pi}(\frac{R}{L}) \gtrsim \frac{F}{P}\)

N? bruker vi samme triks som vi gjorde forrige gang, og det er ? sette hele utrykket i invers:

\(\frac{1}{\sqrt{\pi}}(\frac{L}{R}) \lesssim \frac{P}{F}\)

Da er det bare ? gange utrykket med \(\pi\) og \(R\) for ? f? \(L\) alene. Da f?r vi det endelige utrykket: 

\(L \lesssim \pi\frac{RP}{F}\)

Okei okei dere, vi har to utrykk n? for avstanden \(L\):

1.  \(L \lesssim \frac{2PR}{F}\) 

2.  \(L \lesssim \pi\frac{RP}{F}\)

Hvorfor er de ulike?

I det f?rste utrykket s? vi p? om plantens bredde alts? vinkeldiameter var st?rre enn en vinkelen som en pixel dekker. I utrykk 2 ser vi p? om planeten sin flate alts? vinkelareal er st?rre enn vinkelarealet til en pixel. Siden vi bare s? p? vinkeldiameter i f?rste utrykket s? er vi 1D, mens i den andre utrykket s? vi p? vinkelareal alts? 2D. Begge likningen vi fikk er riktige, men definisjonen v?r for n?r planten dekker minst en pixel er litt forskjellige. Det er den eneste grunnen til at vi fikk 2 tall i det f?rste utrykket og \(\sqrt{}\) i det andre utrykket. En annen ting ? merke seg er at \(\sqrt{\pi}\approx 1.8\) s? vi ser at forskjellen er ikke alt for stor mellom 2 og \(\sqrt{\pi}\approx 1.8\). 

MEEENNN dereee Letsgoooooooooo, vi har ikke bare klart ? finne et utrykk men to utrykk for hvor stor avstanden mellom romskipet v?rt TORTA og Armando m? v?re for ? f? et nydelig bilde. N? kan vi bare f?le sommerfuglene i magen som danser salsa i magen av spenning. Er det klare til ? se et bilde av selveste the one and only top 3 sexyest planet of all time ARMANDO!!!!! Da m? dere bare trykke p? denne linken!!!